Lagrangianas Singulares En Relatividad General

Una de las características más notorias del principio de Hamilton en Relatividad es el de no poseer un parámetro invariante universal (como el tiempo de la Mecánica Clásica), por tanto, el requisito de invariancia de calibre es inevitable. Esto hace que las lagrangianas propuestas deban ser homogéneas en las velocidades L(au)=aL(u), lo cual implica la singularidad de sus Hessianas.

El tratamiento correcto de lagrangianas singulares es importante porque, como se sabe, este tipo de lagrangianas carece de hamiltoniano. A su vez, un hamiltoniano es deseable si se aspira a construir una teoría cuántica relativista.

El siguiente ejemplo es ilustrativo del procedimiento involucrado. Sea la integral acción relativista
 
A= ó
õ 		m
Ö
 
 (grlurul) ds
(1)
La Hessiana de L=mÖ(grlurul) es
Wmn=  2 L
umun		 =
 m
Ö
(grlurul)
 æ
è 		gmn-  umun
grlurul
 ö
ø
(2)

El que esta matriz es singular se verifica fácilmente advitiendo que admite al menos un autovector nulo lm=um, pues evidentemente, Wmnlm=0. Ahora, las ecuaciones de movimiento se pueden escribir también en la forma
Wmnan=am
(3)
donde
am=  L
xm
 -  2 L
umxn
 un
La singularidad de la Hessiana indica que no todas las ecuaciones de movimiento son independientes; en principio, multiplicando (3) por lm, teniendo en cuenta la anulación del primer miembro, se debería obtener una “restricción primaria” amlm=0. Sin embargo, para el caso que nos ocupa, se demuestra por cálculo directo que esta última expresión es idénticamente nula


amlm =
 m
Ö
(grlurul)
 æ
ç
ç
è 		 1
2
  grl
xm
 urul-  gmr
xn
 urun+  1
2
 gmrur
 grl
xn
 urulun
grlurul
 ö
÷
÷
ø 		um º 0.
Por tanto, al no existir restricciones primarias, se tiene la libertad de imponer una “restricción subsidiaria” que corresponde a la elección de la norma o calibre. Obviamente, si el parámetro invariante es la tetralongitud de la línea mundo, se entiende que las derivadas están tomadas respecto de s y la restricción es
gmnumun=1.
Su derivada
 gmn
xr
 urumun+2gmnuman=0
sustituida en el primer miembro de (3) da
Wmnan =
 m
Ö
(grlurul)
 æ
è 		gmnan-  umunan
grlurul
 ö
ø 		=
 m
Ö
(grlurul)
 æ
ç
ç
è 		gmnan+  1
2
um  gln
xr
 urulun
grlurul
 ö
÷
÷
ø .
El último término de esta ecuación es idéntico al último término de am por lo cual (3), luego de las simplificaciones remanentes se reduce a
gmnan=  1
2
  grl
xm
 urul-  gmr
xn
 urun,
separado el último término en dos mitades iguales (por simetría), ésta deviene en
gmnan+  1
2
  gmr
xn
 urun+  1
2
  gnm
xr
 urun-  1
2
  grl
xm
 urul=0;
luego de que urul es factorizado, los últimos tres términos definen el símbolo de Christoffel de primer orden; entonces, elevando el índice libre, se obtiene la conocida ecuación de las geodésicas
am+ ì
í
î
m
r n
 ü
ý
þ 		urun=0.

  Formalismo Hamiltoniano

Más interesante es la construcción de un hamiltoniano, siguiendo la propuesta de Dirac, como una combinación lineal de las restricciones canónicas. En el presente ejemplo sólo existe una, que proviene directamente de la definición de los momentos generalizados:
pm=  L
um
 =  mgmrur
Ö
(grlurul)
cuyo producto da pmpm=m2. La restricción es, pues,
pmpm-m2 » 0
(el símbolo » significa aquí “débilmente igual” e implica, básicamente, que la igualdad no puede ser aplicada dentro de los corchetes de Poisson. El hamiltoniano es, en consecuencia,
H=w(pmpm-m2) » 0
con w una constante a ser evaluada luego. Las ecuaciones de movimiento son
um=
×
x
 
 m
 
 ={xm,H}=wpm   ;   
×
p
 
m 
 ={pm,H}=w æ
è 		2  gmr
xl
 -  grl
xm
 ö
ø 		prpl
(requiere el cuidado de derivar el tensor métrico cuando pm/xr, etc.), como no hay más restricciones primarias, se introduce la restricción subsidiaria de calibre la cual, usando la primera de las ecuaciones de movimiento toma la forma
×
x
 
m 
×
x
 
 m
 
 =1 Þ  c º w2pmpm » 1 Þ w »
 1
Ö
(pmpm)
 .
La restricción c es, obviamente, estable (su corchete con H se anula) porque tiene la misma forma del hamiltoniano y, por tanto {c,H} » 0. En consecuencia, el esquema de estabilidad está completo. La ecuación de geodésicas se deriva de inmediato eliminando p de las ecuaciones de movimiento con la igualdad “fuerte” w=1/m y repitiendo las operaciones realizadas en el formalismo lagrangiano. La forma final del hamiltoniano es, por tanto,
H= 1
m
(pmpm-m2).

Este es el hamiltoniano que permite escribir la ecuación de de Klein-Gordon gravitatoria (en unidades naturales)
æ
è 		gmn  2
xmxn
 +m2 ö
ø 		j = 0.